幂函数求导（幂函数求导推导）

今天给各位分享幂函数求导的知识，其中也会对幂函数求导推导进行解释，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在开始吧！

幂函数的导数公式怎么求？

幂函数导数公式的证明：

y=x^a

两边取对数lny=alnx

两边对x求导(1/y)*y'=a/x

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

在这个过程之中：

1、lny 首先是 y 的函数，y 又是 x 的函数，所以，lny 也是 x 的函数。

2、lny 是一目了然的，是显而易见的，是直截了当的，所以称它为显函数，explicit function。

3、设 u = lny，u 是 y 的显函数，它也是 x 的函数，由于是隐含的，称为隐函数，implicit。

4、u 对 y 求导是 1/y，这是对 y 求导，不是对 x 求导。

5、u 是 x 的隐函数，u 对 x 求导，用链式求导，chain rule。

6、u 对 x 的求导，是先对 y 求导，然后乘上 y 对 x 的求导，也就是：

du/dy = 1/y

du/dx = (du/dy) × (dy/dx) = (1/y) × y' = (1/y)y'。

扩展资料：

幂函数高阶导数公式的推导：

运用导数定义x^n'=（（x+Δx）^n-x^n）/Δx

运用二项式展开后并除去Δ的结果中除了C（1,n）x^n-1之外全部是含Δ的项

因为Δ趋于无穷小所以可以直接省掉

所以x^n'=nx^n-1

参考资料来源：百度百科-求导

幂函数怎样求导？

通常，根号就是表示某数开2分之1次根。

例如：

√x = x的2分之1次方 =（x）^（1/2）求导

（1/2） x ^（1/2 - 1 ）

= （1/2） x ^（ - 1/2 ）

= 1 / （2√x）

又如：

y = a开3次方求导，【y = a^(1/3) 】

y' = （1/3）a^ （1/3 - 1 ）

延伸至开一个数的n次方，都可以把它化成一个数的n分之1。

这样就可以比较轻松求导。

函数  被称为幂指函数，在经济活动中会大量涉及此类函数，注意到它很特别。既不是指数函数又不是幂函数，它的幂底和指数上都有自变量x，所以不能用初等函数的微分法处理了。这里介绍一个专门解决此类函数的方法，对数求导法。

扩展资料：

导数公式：

1.C'=0(C为常数)；

2.(Xn)'=nX(n-1) (n∈R)；

3.(sinX)'=cosX；

4.(cosX)'=-sinX；

5.(aX)'=aXIna （ln为自然对数)；

6.(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a0，且a≠1)；

7.(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2

8.(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2

9.(secX)'=tanX secX；

10.(cscX)'=-cotX cscX；

反函数求导法则：

若函数  严格单调且可导，则其反函数  的导数存在且  。

复合函数求导法则：

若  在点x可导  在相应的点u也可导，则其复合函数  在点x可导且  。

参考资料：百度百科---求导

幂函数的导数是多少?

幂函数的导数是ax^(a-1)。

幂函数导数公式的证明：

y=x^a。

两边取对数lny=alnx。

两边对x求导（1/y)*y'=a/x。

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)。

1、取正值

当α＞0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都经过点（1,1）（0,0）。

b、函数的图像在区间［0,+∞）上是增函数。

c、在第一象限内，α＞1时，导数值逐渐增大；0α＜1时，导数值逐渐减小，趋近于0。

2、取负值

当α＜0时，幂函数y=x^a有下列性质：

a、图像都通过点（1,1）。

b、图像在区间（0，＋∞）上是减函数。

c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近＋∞，自变量趋近＋∞，函数值趋近0。

3、取零

当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：

a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

幂函数求导的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于幂函数求导推导、幂函数求导的信息别忘了在本站进行查找喔。